Sampling / FFT Size / Window / Overlap / Bandwidth
FFT 특성
FFT는 시간영역의 신호를 주파수 영역으로 변환시키는 알고리즘이다. 그러나 신호를 주파수 영역으로 연속적으로 변환할 수는 없다. 먼저 샘플링을 한 후에 디지털화가 이루어져야 한다.
이것은 시간영역에서 샘플링된 자료가 주파수 영역에서의 샘플로 디지털화되는 것을 의미한다. 샘플링으로 인해 두영역에서 원래의 신호를 동일하게 나타낼 수는 없다. 그러나 샘플 간격이 조밀할 수록
샘플링된 신호는 원래의 신호에 근사하게 된다.
샘플링 (Sampling)
측정하고자 하는 진동, 음향 또는 전기 신호는 연속적인 아날로그 데이터이다. 이러한 연속 신호를 컴퓨터로 측정 분석하는데는 신호를 샘플링하여 특정 시간에서 측정된 신호를 수치로 변환해야 한다. 이 과정을 샘플링 (sampling)이라고 한다. 시간적으로 연속된 신호를 시간적으로 불연속적인 신호로 변환 하는 것이 A/D 컨버터이다.
샘플링 과정은 시간을 일정 간격으로 잘라서 디지털 신호로 만든다. 1초당 샘플링 수를 샘플링 주파수(sampling frequency; SF)라고 하고, 단위는 Hz를 사용한다. 샘플링 주파수는 해석하고자 하는 신호의 상한 최고 주파수를 결정한다. 측정할 수 있는 최고 주파수(fmax)는 샘플링 주파수의 1/2이 된다. 음향 시스템을 측정하는 경우에는 20kHz까지 필요하므로 샘플링 주파수는 44.1kHz 또는 48kHz로 설정하면 된다.
샘플링 주파수에 반비례하는 파라메터는 샘플링 주기(T)이고, 샘플링 간의 시간 길이(초)를 나타내는 것이다. 따라서 시간 분해능은 T와 같아지므로 T 미만의 신호는 정확하게 분석할 수 없다. 예를 들면 임펄스 응답의 피크를 찾아내어 신호의 지연 시간을 측정할 때, T 미만의 지연시간을 측정할 수 없다는
의미이다.
샘플링 주파수의 1/2이 분석하고자 하는 주파수의 상한이 된다. 예를 들면, 샘플링 주파수가 44.1kHz 이면 상한 주파수는 22kHz이고, 샘플링 주파수가 20kHz이면 상한 주파수는 10kHz가 된다. 또, ,000Hz까지의 신호만 분석하고자 하면 샘플링 주파수는 6,000Hz로 하면 된다. 그러나 신호에 3,000Hz 이상의 신호가 있으면, aliasing이 생긴다. Aliasing이란 신호 파형이 T 간격으로 샘플링 되는 경우에 신호의 주파수가 1/2T 보다 크면, 실제로 존재하지 않은 주파수 신호가 있는 것과 같은 결과가 나오고, 이것을
aliasing이라고 한다. 따라서 일반적으로 FFT 분석하기 전에, 샘플링 주파수의 1/2 이상의 신호를 저역 통과 필터를 사용하여 aliasing 현상을 방지한다.
Sampling Frequency (Nyquist Theorem)
- 2Fmax < Fs (Fmax:Bandwidth, Fs:Sampling)
- 2.56Fmax = Fs (FFT적용)
Sampling Point & Data 길이
- T = n * 1/Fs = n * dT (T:Data 획득 시간, n:Sampling Points (Data 획득 개수), dT:Sampling 주기)
FFT 사이즈 (FFT Size)
FFT 분석의 속도와 해상도는 두 가지 파라메터, 즉 FFT 사이즈와 샘플링 주파수에 의해서 결정된다. 이 두 값으로 FFT 를 분석하는 2가지 중요한 팩터, 즉 주파수 해상도(frequency resolution)와 FFT 시정수(FFT time constant)를 계산할 수 있다. FFT 시정수는 전 샘플 데이터를 모으는데 걸리는 시간이다. 예를 들면, 4096 포인트를 샘플링 주파수 44,100으로 나누면 시정수는 0.093s가 된다. 시정수는 측정하고자 하는 시스템의 decay time보다 길어야 한다.
44.1kHz 샘플링에 1024 포인트이면, 주파수 영역의 데이터 포인트는 43Hz (=44,100/1024)간격이 된다. 또, 24kHz 샘플링 주파수를 1,024 포인트로 FFT하면, 주파수 해상도는 23.4Hz(=24,000/1,024)가 된다. 주파수 분해능을 높이기 위해서는 FFT 포인트 수를 늘리면 되지만, FFT 포인트가 많을수록 처리 시간이 많이 걸린다. 시간 분해능과 주파수 분해능과의 관계는 다음과 같다.
- 시간 분해능 = FFT 사이즈 / 샘플링 주파수
- 주파수 분해능 = 1/시간 분해능 = 샘플링 율 / FFT 사이즈
윈도우 (Window)
진동, 음향 신호를 FFT 분석할 경우에 FFT 연산에 필요한 데이터 수는 유한개이므로, 시간축 신호를 어느 구간 T만 잘라내어 그 부분만을 연산하는 방식을 취한다. 이것을 윈도우(window, 시간창)라고 한다. 만약 사인파 신호의 시작과 끝 부분이 제로이면, FFT 분석한 결과는 정확한 진폭과 주파수로 구성된 단일 스펙트럼(single line)이 될 것이다. 그러나, 신호의 시작 부분과 끝 부분이 제로가 아니면, 파형을 어느 구간만 절단하여 FFT 분석을 해야 하므로 샘플된 신호에 불연속이 생기게 된다.
이 불연속성이 FFT 분석에서 문제가 된다. 예를 들면, 순음을 FFT 분석하면 단일 스펙트럼만 나타나야 하는데, 이웃하는 주파수도 나타나게 되고, 이것을 사이드 로브(side lobe 또는 leakage)라고 한다.
사이드 로브는 시간 파형이 zero crossing 이면 생기지 않지만, 실제로는 불가능하다. 사이드 로브의 스펙트럼 형상은 신호 절단 방법에 따라서 달라지고, 실제 신호에 대해서는 예측할 수 없다. 이러한 사이드 로브 효과를 줄이기 위해서 신호의 시작 부분과 끝부분을 강제로 제로로 만든다. 이것은 데이터 샘플에 윈도우 를 곱하는 것이다.
윈도우에는 여러 종류가있다. 윈도우 함수를 사용하지 않은 것을 구형 윈도우(Rectangular window,
Flat window, Uniform window)라고 한다. 구형 윈도우는 윈도우 간격 T 속에서 주기화 신호, 또는 윈도우 내에서 완전하게 감쇠되므로 과도 신호에 대해서 최적이다. 그러나 일반의 신호는 랜덤 잡음을 포함하므로 완전한 주기 신호는 아니다. 따라서 적당한 윈도우를 이용하여 처리해야 한다. 일반적으로 이용되고 있는 것이 해닝 윈도우(Hanning window)로서 cos2의 함수이다. 해닝 윈도우는 구형 윈도우와 비교하면, 시간축 파형은 찌그러진 형태이지만 사이드 로브가 적다.
Hamming 윈도우와 Hanning 윈도우는 고전적인 윈도우이고, Blackman 윈도우와 Kaiser 윈도우는 최근에 제안된 것으로서 고전 윈도우와 비교하면 사이드 로브가 적은 편이다. 현대 윈도우는 고전 윈도우보다 사이드 로브가 적고, 주파수 해상도가 좋다. 구형 윈도우는 주파수 해상도가 가장 좋고, 만약에 임펄스 레스폰스가 1차 반사음이 나타나기 전에 거의 0에 가까운 값이 된다면, 스피커의 측정에서 실내의 반사음을 제거하는데 가장 적절한 시간 창이다. 그러나 직접음의 레벨이 0이 되지 않는 경우에는 Hamming 윈도우를 선택하는 것이 좋다. 사인파나 음악, 잡음과 같이 임펄스 레스폰스가 아닌 경우에는 Blackman 윈도우나 Kaiser 윈도우가 적절하다. 이것은 고전창보다 사이드 로브가 적지만, 주파수 해상도가 좋지 않다.
오버랩 (FFT Overlap)
Oerlap percentage는 데이터 포인트의 FFT 사이즈의 블록의 몇 %를 다음 블록에서
다시 사용하는가를 나타낸다. Overlap 처리는 주파수와 시간 축상에서 해상도를 높이는 데 사용한다. 예를 들어 2개의 다른 주파수로 구성된 신호를 분석할 때, 만약 두 신호가 같은 FFT 블록에 포함되면 FFT 처리 결과에서 두 신호가 구분 되지 않게 된다. 이러한 경우에 시간 해상도를 높이는데 사용하는 기법이다.
Oerlap percentage가 높고 FFT 사이즈가 작으면 시간 해상도가 높지만, 처리 시간이 많이 걸린다. FFT 사이즈가 크면 주파수 상도가 높지만, 시간 해상도는 떨어진다.
대역폭 (Bandwidth)
특정한 기능을 수행할 수 있는 주파수의 범위로, 헤르츠 단위로 측정된다.
대역통과 필터가 신호를 3 dB (평탄한 반응의 70.7% 아래) 감쇠 시키는 주파수 사이의 폭, 두개의 각 주파수는 실제 "peak" 진폭을 갖고 FFT 스펙트럼 상에서 적어도 하나의 대역폭을 분리하도록 하여여 함.
예)
FFT 분석기를 보면 아래와 같은 셋팅 화면을 보통 볼 수 있으며, 일반적으로 Block Size (FFT Size)와 Frequency Range (Maximum frequency to analyze)를 변경 할 수 있도록 되어 있다.
여기서,
Frequency Resolution은 Sample rate (96,000 = 40,000 * 2.4) / Block Size (8,192) = 11.719 Hz 이며,
Acquisition Time은 Block Size (8,192) / Sample rate (96,000) = 0.085 s 이다.
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